Von p-adischen Zahlen und perfektoiden Räumen

In der Mathematik gibt es keinen Nobelpreis, dafür aber die Fields-Medaille. Im Unterschied zu den Nobelpreisen wird die „International Medal for Outstanding Discoveries in Mathematics“ nur alle vier Jahre vergeben. Verliehen wird die Fields-Medaille von der IMU, der International Mathematical Union auf dem (ebenfalls nur alle vier Jahre stattfindenden) International Congress of Mathematicians, in Mathematikerinnenkreisen besser bekannt als ICM.

Anlässlich des ICM 2018 in Rio des Janeiro  geht die Medaille an

  • Caucher Birkar, *1978, (University of Cambridge): „For the proof of the boundedness of Fano varieties and for contributions to the minimal model program.
  • Alessio Figalli, *1984, (ETH Zürich): „For contributions to the theory of optimal transport and its applications in partial differential equations, metric geometry and probability.“
  • Peter Scholze, *1987 (Universität Bonn): „For transforming arithmetic algebraic geometry over p-adic fields through his introduction of perfectoid spaces, with application to Galois representations, and for the development of new cohomology theories.
  • Akshay Venkatesh, *1981, (Institute for Advanced Study): „For his synthesis of analytic number theory, homogeneous dynamics, topology, and representation theory, which has resolved long-standing problems in areas such as the equidistribution of arithmetic objects.

Von den Nobelpreisverleihungen und –vorträgen bin ich es gewohnt, dass dieser von (überwiegend) alten Herren (und sehr wenigen Damen) entgegengenommen wird, quasi als Auszeichnung für ein Lebenswerk.  Die Fields-Medaille mutet dagegen eher wie ein Preis zur Förderung des wissenschaftlichen Nachwuchses an, sind doch die Preisträger alle nicht älter als 40. Tatsächlich sehen die Statuten für die Fields-Medaille vor, dass „A candidate’s 40th birthday must not occur before January 1st of the year of the Congress at which the Fields Medals are awarded.“

Es handelt sich hier allerdings um Nachwuchs, der schon früh angefangen hat, mit seiner Leidenschaft für die Mathematik herauszustechen, z.B. mit Preisen bei Mathematik-Olympiaden, Dissertationen-Preisen und weiteren Auszeichnungen, Nachwuchs also, der schon früh Fuß in der Wissenschaft gefasst und sich einen Namen gemacht hat …

Die Filme zu den Preisträgern vermitteln einen ersten Eindruck von Birkar, Figalli, Scholze, Venkatesh und ihrer Begeisterung für die Mathematik.

In den deutschen Medien wurde natürlich vor allem die Auszeichnung des in Dresden geborenen und in Bonn forschenden Peter Scholze vermeldet, wie z.B. in der HAZ, auf Zeit Online und Spiegel Online. Oder nachzuhören beim Deutschlandfunk.

Immerhin ist es mehr als 20 Jahre her, dass mit Gerd Faltings (damals Princeton University) der letzte deutsche Staatsbürger die Fields-Medaille erhalten hat. Peter Scholze ist der erste Deutsche, der zum Zeitpunkt der Preisverleihung auch in Deutschland tätig ist. Faltings und Scholze haben übrigens nicht nur die Fields-Medaille gemeinsam, sie sind auch beide Direktoren das Max-Planck-Instituts für Mathematik in Bonn. Faltings war auch Gutachter der Dissertation von Scholze, Perfectoid Spaces.

Ich habe schnell festgestellt, dass ich die Arbeiten von Peter Scholze einfach nicht verstehen, geschweige denn erklären kann. Ein bisschen tröstet es mich, dass Jared Weinstein, ein amerikanischer  Kollege von Scholze über dessen  Arbeiten zu  perfektoiden Räumen in einem Artikel auf Spektrum.de feststellt : „Ich verstehe gar nichts, bis Peter es mir erklärt.“ Einen ersten Einblick in das Forschungsgebiet gibt er dennoch in diesem Artikel.

Mit seinen Arbeiten zu  p-adischen Zahlen und perfektoiden Räumen hat Scholze neue Konzepte in die arithmetische algebraische Geometrie eingeführt, wie in der Darstellung zu seiner Arbeit auf  der Seite der Fields-Medaille nachzulesen ist. (p-adische Zahlen werden auch gerne in der mathematischen Physik verwendet.)  Von der Nationalen Akademie der Wissenschaften Leopoldina, deren Mitglied Peter Scholze ist, kommt die Einordnung: „Peter Scholze […] forscht an der Schnittstelle zwischen Arithmetischer Algebraischer Geometrie und der Theorie der Automorphen Formen.“

Dass Peter Scholze ein guter Dozent ist, der „seine Mathematik“ sehr klar erläutern kann, lässt sich in der Aufzeichnung seiner Antrittsvorlesung an der Universität Bonn erleben.

Ganz vereinfacht würde ich zusammenfassen, dass sich Peter Scholze mit (höheren zahlentheoretischen Konzepten von) ganzen Zahlen befasst.

Hocherfreut bin ich natürlich, dass die Fields-Medaillen-Gewinner als echte Mathematiker alle ihre Ergebnisse (überwiegend) auf arXiv publizieren, im TIB Portal findet man neben den arXiv-Publikationen gleich noch weitere Veröffentlichungen, auch einzelne Filme sind verzeichnet:

Warum gibt es eigentlich immer noch Stimmen, die die Qualität von Preprint-Servern im Allgemeinen und arXiv im Speziellen in Frage stellen?!

2006 lehnte übrigens der als exzentrisch und öffentlichkeitsscheu beschriebene russische Mathematiker Grigorij Perelman die Fields-Medaille ab, seine Paper, für die er den Preis erhalten sollte, hat er ausschließlich auf arXiv veröffentlicht.

Zu perfektoiden Räumen und p-adischen Zahlen lässt sich Fachliteratur im TIB-Portal finden. In der Einleitung zum Buch Relative p-adic Hodge theory : foundations von Kedlaya und Liu wird sogar auf „Scholze’s formalism of perfectoid spaces“ verwiesen. Eine elektronische Version des Buches liegt auf arXiv.

Mithilfe der Basisklassifikation ist es möglich, Bücher aus den Teildisziplinen Zahlentheorie und Algebraische Geometrie oder der Schnittmenge beider herauszusuchen. Weitere Literatur zum Themenkomplex findet sich mit einer Suche nach arithmeti* algebrai* geometr*.

Wer mit seinen Recherchen noch tiefer in Peter Scholzes Welt der perfektoiden Räume einsteigen will, ist bei den Fachdatenbanken MathSciNet und zbMath richtig. Hier lässt sich über die Mathematics Subject Classification MSC auch schön der fachliche Kontext (Algebraic Geometry MSC 14 und Number Theory  MSC 11) erahnen und erkunden.

Von Peter Scholze wird erzählt, dass er ein fröhlicher Mensch ist und während der Arbeit viel lacht. Da wird ihm sicherlich der Pop für Mathematiker, den Spiegel Online aus Freude über die Fields-Medaille zusammengestellt hat, gefallen. Herzlichen Glückwunsch!

Peter Scholze: „Shimura varieties with infinite level, and torsion in the cohomology of locally symmetric spaces.“
https://doi.org/10.5446/20851

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Esther Tobschall

Esther Tobschall

... ist Fachreferentin für Physik und zuständig für die Nationale Kontaktstelle im Netzwerk arXiv-DH